El infinito que no cabía dentro de sí.

Al Hotel Alef-Cero, famoso por sus infinitas habitaciones –de ahí su nombre-, llegarán para asistir a un Congreso todos los habitantes de Ciudad Singular, una minúscula aunque enigmática urbe cuyas fronteras se extendían a lo largo de un segmento de longitud unidad, vamos, lo que cabe entre dos marcas de una regla centimétrica. Los singulares eran literalmente infinitos; tan numerosos y sociables que gustaban de ser apodados los Continuos; no era fácil separarlos y siempre iban juntos a todas partes.
El gerente del hotel, Mr. Dedekind, dispuso que se habilitara una habitación para cada uno de los singulares. Aprovechó la ocasión para volver a relatar el día en que alojó a la infinitud de señores Zahl, todos ellos nacidos mellizos; y recordó aún con más satisfacción la ocasión en la que, ante el estupor de todos, consiguió hospedar a todos los aristócratas Racionales, de los que se decía que eran densos.
En el Hotel trabajaba de botones Cantor, un joven disperso, con una mente ávida por inventar, que se pagaba los estudios de matemáticas con este trabajo. En múltiples ocasiones había ayudada a Mr. Dedekind con las cuentas y las reservas. Cantor preocupado, se acercó a su jefe y le dijo:
- Disculpe, pero creo que no va a ser posible alojar a todos los señores singulares.
- ¡Cómo que no! atajó Mr. Dedekind. ¿Acaso no sabe usted que nuestro hotel dispone de infinitas habitaciones? ¡Exactamente Alef-cero! -recalcó.
- Sí, ya sé... pero las cosas no son tan sencillas... no sabe usted cuán numerosos son los habitantes de Singular. Si me permite, le convenceré de lo que digo.
- Adelante, adelante, si así se queda usted satisfecho. Le escucho.
- Veamos. Cada singular tiene un número identificativo único que se le asignó cuando nació y que le diferencia de sus conciudadanos, su NDI.
- Así es, en efecto.
- Y usted también sabrá que todos los NDI siguen el mismo patrón: una expresión decimal sin parte entera tan larga como sea necesaria. Ya sabe, decimales del tipo “cero y coma”. Usted dice que puede alojarlos a todos ¿no es así?
- ¡Cierto!
- Pues imaginemos que usted tiene razón y que ya tiene instalado a cada huésped singular en su correspondiente habitación.
-¡Ve cómo al final me da la razón!, replicó entusiasmado Mr. Dedekind.
- ¡No tan deprisa! Sólo he dicho imaginemos. Voy a demostrarle que eso no es posible encontrando un singular, que llamaré Mr. Diagonal y que no estará en su hotel. Así me dará la razón.
- ¡Por supuesto! Pero es absurdo. ¿Qué parte de infinitas habitaciones no ha entendido?
- Supongamos que el NDI del huésped alojado en la habitación 1 fuera el 0.468211532... Su primer dígito decimal es el 4. Mr. Dedekind, dígame un número distinto del 4.
Le dijo el 6 y Cantor anotó en su libreta 0.6.
- Supongamos que el NDI del huésped alojado en la habitación 2 es 0.1563315... Su segundo dígito es el 5, así que Mr. Dedekind, escoja un número distinto de 5.
- El 4.
Y Cantor anotó ahora 0.64.
-Ahora vayamos a la habitación 3.
-Sí, ya se... Ahí se ha alojado el singular con NDI 0.56847216.... y como su tercera cifra es el 8, usted quiere que la cambie, por ejemplo, por el 2...
-En efecto. Veo que entiende por dónde voy -dijo Cantor anotando 0.642...
-Estará usted conmigo que este procedimiento podemos realizarlo habitación tras habitación.
-Obviamente.
-Pues ya he terminado.
-¿Cómo que ya ha terminado? ¿Qué tiene esto que ver con mis huéspedes? -preguntó irritado Mr. Dedekind.
- Muy sencillo. Según lo visto, podemos construir el NDI de Mr. Diagonal 0.642... que no se hospeda en la habitación 1 porque su primer decimal es distinto del huésped allí instalado. Tampoco puede ser el NDI del que ocupa la habitación 2 porque se distinguen al menos en el segundo decimal, ni puede ser el de la habitación 3, ni el de la 4, ni el de... ¡ninguna! Convendrá que Mr. Diagonal no es ninguno de los huéspedes que usted tiene alojados y en cambio, es ciertamente un ciudadano de Singular. Por lo tanto, hay más singulares que habitaciones tiene su hotel.
- De modo que...
- Sí, de modo que por muy infinito que sea el número de habitaciones de su hotel, deberá enviar un fax urgente a Ciudad Singular para lamentar la imposibilidad de acomodarles a todos.
- En mis alef-cero habitaciones ¿al menos podría alojar a la mitad de los singulares?
- Imposible. Ni con dos, ni con tres hoteles iguales podría alojar a los habitantes de Singular, de tantos como son...
-Me ha dejado usted helado. ¡Es Increíble! Y pensar en lo pequeña que es su ciudad, apenas una marca en una recta.
  • Visto: 132